STATISTIKA TERAPAN

Statistika Terapan MA/SMA

Diagram Pencar • Boxplot • Regresi Linier • Analisis Korelasi

Modul Pembelajaran Terpadu

Modul ini memberikan pemahaman komprehensif mengenai analisis eksplorasi data bivariat dan univariat. Topik utama mencakup penggambaran visual dengan Diagram Pencar, analisis sebaran & pencilan dengan Boxplot, pemodelan matematis dengan Regresi Linier Sederhana, serta pengukuran hubungan kuantitatif dengan Analisis Korelasi.

Topik 1

1. Diagram Pencar (Scatter Plot)

Diagram Pencar adalah grafik koordinat Kartesius yang menyajikan pasangan nilai dari dua variabel kuantitatif: variabel independen/bebas (X) dan variabel dependen/terikat (Y). Diagram ini berguna untuk mendeteksi arah hubungan, kelurusan (linieritas), dan sebaran data.

Hubungan Positif

Peningkatan $X$ diikuti peningkatan $Y$.

Hubungan Negatif

Peningkatan $X$ diikuti penurunan $Y$.

Tidak Ada Korelasi

Titik data tersebar secara acak.

Topik 2

2. Boxplot (Diagram Kotak Garis)

Boxplot (Diagram Kotak Garis) adalah grafik statistik yang ringkas untuk menggambarkan sebaran data numerik berdasarkan Ringkasan Lima Angka (Five-Number Summary) serta mengidentifikasi keberadaan pencilan (outlier).

Visualisator Komponen Boxplot Interaktif

1. Kuartil & Median

$Q_1$ (Kuartil 25%), $Q_2$ (Median / 50%), dan $Q_3$ (Kuartil 75%). Kotak mencakup 50% data tengah.

2. Jangkauan Interkuartil

$$IQR = Q_3 - Q_1$$ Panjang kotak mewakili rentang penyebaran setengah data tengah.

3. Wisker (Kumis) & Pagar

Batas Bawah: $Q_1 - 1.5 \times IQR$
Batas Atas: $Q_3 + 1.5 \times IQR$

4. Pencilan (Outlier)

Nilai data di luar batas pagar ($< \text{Batas Bawah}$ atau $> \text{Batas Atas}$) ditandai sebagai titik eksternal.

Membaca Simetri & Skewness (Kemencengan) dari Boxplot:

Simetris

Garis median ($Q_2$) berada tepat di tengah kotak, dan panjang wisker kiri & kanan seimbang.

Menceng Kanan (Positif)

Garis median lebih dekat ke $Q_1$, dan wisker sebelah kanan lebih panjang dibanding sebelah kiri.

Menceng Kiri (Negatif)

Garis median lebih dekat ke $Q_3$, dan wisker sebelah kiri lebih panjang dibanding sebelah kanan.

Topik 3

3. Regresi Linier Sederhana

Regresi linier digunakan untuk pemodelan matematis dan estimasi/prediksi nilai variabel terikat ($\hat{Y}$) berdasarkan nilai variabel bebas ($X$).

Persamaan Garis Regresi:

$$\hat{Y} = a + bX$$

• $\hat{Y}$: Nilai duga / estimasi variabel dependen.
• $X$: Nilai variabel independen (prediktor).
• $a$: Intersept / konstanta (titik potong garis pada sumbu $Y$ ketika $X=0$).
• $b$: Kemiringan garis / kemiringan regresi (perubahan rata-rata $Y$ per 1 satuan perubahan $X$).

Rumus Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Squares - OLS):

1. Kemiringan Garis ($b$):

$$b = \frac{n \sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{n \sum X^2 - (\sum X)^2}$$

2. Intersept / Konstanta ($a$):

$$a = \bar{Y} - b\bar{X} = \frac{\sum Y - b \sum X}{n}$$

Topik 4

4. Analisis Korelasi (Pearson $r$) & Determinasi ($R^2$)

Korelasi mengukur kekuatan dan arah hubungan linier antara dua variabel. Koefisien korelasi Pearson disimbolkan dengan $r$, di mana $-1 \le r \le +1$.

Rumus Korelasi Pearson ($r$):

$$r = \frac{n \sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{\left[n \sum X^2 - (\sum X)^2\right] \left[n \sum Y^2 - (\sum Y)^2\right]}}$$

Pedoman Interpretasi Nilai $r$:

Interval $|r|$	Tingkat Hubungan
0.80 - 1.00	Sangat Kuat
0.60 - 0.79	Kuat
0.40 - 0.59	Sedang / Cukup
0.20 - 0.39	Lemah
0.00 - 0.19	Sangat Lemah / Tidak Ada

Koefisien Determinasi ($R^2$):

Koefisien determinasi menyatakan proporsi variansi variabel $Y$ yang dijelaskan oleh variabel $X$ melalui model linier:

$$R^2 = r^2 \times 100\%$$

Catatan Penting: Korelasi **tidak sama** dengan kausalitas (sebab-akibat).

Latihan Soal & Pembahasan Lengkap

Kerjakan soal-soal di bawah ini untuk melatih pemahaman konsep dan perhitungan matematis Anda. Tekan tombol pembahasan untuk melihat penjelasannya.

Soal 1 • Konseptual Diagram Pencar

Jika sebuah diagram pencar menunjukkan bahwa saat nilai $X$ bertambah, nilai $Y$ cenderung berkurang secara konstan membentuk garis lurus miring ke bawah, maka jenis hubungan tersebut dinamakan:

Soal 2 • Hitungan Boxplot & Outlier

Diberikan data sampel hasil ujian 9 mahasiswa yang telah diurutkan sebagai berikut:

Data: [35, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 130]

Tentukan nilai $Q_1$, $Q_2$ (Median), $Q_3$, $IQR$, serta identifikasi apakah terdapat nilai **Pencilan (Outlier)** dalam data tersebut!

Pembahasan Langkah demi Langkah:

Langkah 1: Menentukan Kuartil ($n = 9$):

• $Q_2$ (Median / Data ke-5): $75$
• $Q_1$ (Kuartil Bawah - Median separuh bawah [35, 60, 65, 70]): $\frac{60 + 65}{2} = 62.5$
• $Q_3$ (Kuartil Atas - Median separuh atas [80, 85, 90, 130]): $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$

Langkah 2: Menghitung Jangkauan Interkuartil ($IQR$):

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 87.5 - 62.5 = 25$$

Langkah 3: Menghitung Batas Pagar Bawah & Atas:

$$\text{Batas Bawah} = Q_1 - 1.5 \times IQR = 62.5 - 1.5(25) = 62.5 - 37.5 = 25$$

$$\text{Batas Atas} = Q_3 + 1.5 \times IQR = 87.5 + 1.5(25) = 87.5 + 37.5 = 125$$

Langkah 4: Evaluasi Outlier:

Data yang bernilai $< 25$ atau $> 125$ dikategorikan sebagai pencilan (*outlier*).

Kesimpulan: Nilai 130 berada di atas batas pagar atas (125), sehingga nilai 130 adalah PENCILAN (OUTLIER).

📌 Data Studi Kasus Bivariat (Soal 3 & 4):

Peneliti mencatat **Lama Belajar per Hari ($X$, jam)** dan **Nilai Ujian ($Y$, 0-100)** untuk $n=5$ siswa:

Siswa	1	2	3	4	5
Lama Belajar ($X$)	2	3	4	5	6
Nilai Ujian ($Y$)	60	70	75	80	95

Soal 3 • Regresi Linier Sederhana

Hitunglah persamaan regresi linier $\hat{Y} = a + bX$ dari data di atas, lalu prediksikan nilai ujian siswa yang belajar $5$ jam!

Pembahasan Langkah demi Langkah:

Langkah 1: Ringkasan statistik data ($n = 5$):

• $\sum X = 20 \implies \bar{X} = 20 / 5 = 4$
• $\sum Y = 380 \implies \bar{Y} = 380 / 5 = 76$
• $\sum X^2 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90$
• $\sum XY = 120 + 210 + 300 + 400 + 570 = 1600$

Langkah 2: Menghitung kemiringan ($b$):

$$b = \frac{5(1600) - (20)(380)}{5(90) - (20)^2} = \frac{8000 - 7600}{450 - 400} = \frac{400}{50} = 8$$

Langkah 3: Menghitung konstanta ($a$):

$$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 76 - (8 \times 4) = 76 - 32 = 44$$

Persamaan Regresi: $\hat{Y} = 44 + 8X$

Langkah 4: Prediksi untuk $X = 5$ jam:

$$\hat{Y} = 44 + 8(5) = 44 + 40 = 84$$

Soal 4 • Analisis Korelasi & Determinasi

Hitunglah nilai koefisien korelasi Pearson ($r$) dan koefisien determinasi ($R^2$) dari data studi kasus di atas!

Pembahasan Langkah demi Langkah:

Langkah 1: Perhitungan $\sum Y^2$:

$\sum Y^2 = 60^2 + 70^2 + 75^2 + 80^2 + 95^2 = 3600 + 4900 + 5625 + 6400 + 9025 = 29550$

Langkah 2: Menghitung nilai korelasi ($r$):

$$r = \frac{5(1600) - (20)(380)}{\sqrt{\left[5(90) - 20^2\right] \left[5(29550) - 380^2\right]}} = \frac{400}{\sqrt{50 \times 3350}} = \frac{400}{409.268} \approx 0.977$$

Interpretasi $r$: Nilai $r = 0.977$ menunjukkan **korelasi positif yang sangat kuat**.

Langkah 3: Menghitung Koefisien Determinasi (R^2):

$$R^2 = (0.977)^2 \times 100\% \approx 95.5\%$$

Sejumlah $95.5\%$ variasi nilai ujian dapat dijelaskan oleh lama waktu belajar.

StatQuest: Tantangan Visual Statistika

Uji intuisi statistik Anda dalam mengestimasi korelasi diagram pencar dan analisis pola boxplot!

Total Poin 0

Diagram Pencar Acak

Ronde 1

Estimasi Nilai Korelasi (r)

Tebakan Anda: 0.00

-1.0 0.0 +1.0

Diagram Boxplot Sampel

Ronde 1

Tantangan Analisis Boxplot

Apakah sampel data pada boxplot di samping memiliki **Pencilan (Outlier)**?

© Media Pembelajaran & Game Interaktif Statistika Terapan.